试题分析:(Ⅰ))利用导数的几何意义,在处切线的斜率为即为因为,所以当时,.,又,则曲线在处切线的方程为. (Ⅱ)利用导数求函数单调区间,需明确定义域,再导数值的符号确定单调区间. (1)若,当,即时,函数为增函数;当,即和时,函数为减函数. 若,当,即和时,函数为增函数;当,即时,函数为减函数.(Ⅲ)不等式恒成立问题,一般利用变量分离转化为最值问题. 当时,要使恒成立,即使在时恒成立. 设,易得,从而. (Ⅰ),. 当时,. 依题意,即在处切线的斜率为. 把代入中,得. 则曲线在处切线的方程为. .4分 (Ⅱ)函数的定义域为. . (1)若, 当,即时,函数为增函数; 当,即和时,函数为减函数. (2)若, 当,即和时,函数为增函数; 当,即时,函数为减函数. 综上所述,时,函数的单调增区间为;单调减区间为,. 时, 函数的单调增区间为,;单调减区间为. .9分 (Ⅲ)当时,要使恒成立,即使在时恒成立. 设,则.可知在时,,为增函数; 时,,为减函数.则.从而. 另解:(1)当时,,所以不恒成立. (2)当且时,由(Ⅰ)知,函数的单调增区间为,单调减区间为.所以函数的最小值为,依题意, 解得. 综上所述,. .13分 |