试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等数学知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,先对求导,将代入到中得到切线的斜率,将代入到中得到切点的纵坐标,最后利用点斜式,直接写出切线方程;第二问,对求导,由于有2个不同的极值点,所以有2个不同的根,即在有两个不同的根,所以且,可以解出a的取值范围,所以根据的单调性判断出为极小值,通过函数的单调性求最值,从而比较大小;第三问,用分析法证明分析出只须证,构造函数,利用函数的单调性证明,同理再证明,最后利用不等式的传递性得到所证不等式. 试题解析:(1)易知,∴ ∴所求的切线方程为,即 4分 (2)易知, ∵有两个不同的极值点 ∴在有两个不同的根 则且 解得 6分 在递增,递减,递增 ∴的极小值 又∵ ∴ 则,∴在递减 ∴,故 9分 (3)先证明:当时, 即证: 只需证: 事实上,设 易得,∴在内递增 ∴ 即原式成立 12分 同理可以证明当时, 综上当时,. 14分 |