已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)求b的值

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)求b的值 (2)求f(2)的取值范围

答案

(1) b＝0(2)

解析

试题分析：(1)由

，得：

，根据题设可判定

，从而解得

；
(2)由（1）知：

，由

，所以，

因为函数

在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点，所以

的零点

，得到函数解析式所剩唯一参数

的取值范围，进而可求

的取值范围.
试题解析：
(1)∵f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c，
∴f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b. 3分
∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，
∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，
∴b＝0. 6分
(2)由(1)知，f(x)＝－x³＋ax²＋c，
∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.
∵f′(x)＝－3x²＋2ax＝0的两个根分别为x₁＝0，x₂＝