已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.(1)求b的值
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已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.(1)求b的值
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=-x
3
+ax
2
+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.
(1)求b的值 (2)求f(2)的取值范围
答案
(1) b=0(2)
解析
试题分析:(1)由
,得:
,根据题设可判定
,从而解得
;
(2)由(1)知:
,由
,所以,
因为函数
在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点,所以
的零点
,得到函数解析式所剩唯一参数
的取值范围,进而可求
的取值范围.
试题解析:
(1)∵f(x)=-x
3
+ax
2
+bx+c,
∴f ′(x)=-3x
2
+2ax+b. 3分
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
∴当x=0时,f(x)取到极小值,即f ′(0)=0,
∴b=0. 6分
(2)由(1)知,f(x)=-x
3
+ax
2
+c,
∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f′(x)=-3x
2
+2ax=0的两个根分别为x
1
=0,x
2
=
. 9分
又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,
∴
应是f(x)的一个极大值点,因此应有x
2
=
>1,即a>
.
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>
.
故f(2)的取值范围为
. 13分
举一反三
设a为实数,函数f(x)=e
x
-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x >0时,e
x
>x
2
-2ax+1
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)求
在
上的最大值;
(2)若直线
为曲线
的切线,求实数
的值;
(3)当
时,设
,且
,若不等式
恒成立,求实数
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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函数y=cos(2x+1)的导数是( )
A.y′=sin(2x+1)
B.y′=-2xsin(2x+1)
C.y′=-2sin(2x+1)
D.y′=2xsin(2x+1)
题型:不详
难度:
|
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f (x)=ax
3
+3x
2
+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A.f(x)=e
x
B.f(x)=x
3
C.f(x)=lnx
D.f(x)=sinx
题型:不详
难度:
|
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