已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=,且函数f(x)在上不存在极值点,求a的取值范
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=,且函数f(x)在上不存在极值点,求a的取值范
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
x
3
+ax
2
+bx(a,b∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(1)=
,且函数f(x)在
上不存在极值点,求a的取值范围.
答案
(1)当b≥1时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当b<1时,f(x)的增区间为(-∞,-1-
),(-1+
,+∞);减区间为(-1-
,-1+
).(2)(-∞,0]
解析
(1)当a=1时,f′(x)=x
2
+2x+b.
①若Δ=4-4b≤0,即b≥1时,f′(x)≥0,
所以f(x)为(-∞,+∞)上为增函数,所以f(x)的增区间为(-∞,+∞);
②若Δ=4-4b>0,即b<1时,f′(x)=(x+1+
)(x+1-
),
所以f(x)在(-∞,-1-
),(-1+
,+∞)上为增函数,f(x)在(-1-
,-1+
)上为减函数.
所以f(x)的增区间为(-∞,-1-
),(-1+
,+∞),减区间为(-1-
,-1+
).
综上,当b≥1时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当b<1时,f(x)的增区间为(-∞,-1-
),(-1+
,+∞);减区间为(-1-
,-1+
).
(2)由f(1)=
,得b=-a,
即f(x)=
x
3
+ax
2
-ax,f′(x)=x
2
+2ax-a.
令f′(x)=0,即x
2
+2ax-a=0,变形得(1-2x)a=x
2
,
因为x∈
,所以a=
.
令1-2x=t,则t∈(0,1),
=
.
因为h(t)=t+
-2在t∈(0,1)上单调递减,故h(t)∈(0,+∞).
由y=f(x)在
上不存在极值点,得a=
在
上无解,所以,a∈(-∞,0].
综上,a的取值范围为(-∞,0]
举一反三
已知a>0,函数f(x)=ax
2
-ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=
时,证明:方程f(x)=f
在区间(2,+∞)上有唯一解.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
+a,g(x)=aln x-x(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当a>0时,对于任意x
1
,x
2
∈
,总有g(x
1
)<f(x
2
)成立.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
3
+
ax
2
+bx.
(1)若a=2b,试问函数f(x)能否在x=-1处取到极值?若有可能,求出实数a,b的值;否则说明理由.
(2)若函数f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求w=a-4b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x
2
,下面不等式在R上恒成立的是( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)>x
D.f(x)<x
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
,其导函数记为f′(x),则f(2 012)+f′(2 012)+f(-2012)-f′(-2012)=________.
题型:不详
难度:
|
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