已知函数f(x)=x3+ax2+bx.(1)若a=2b,试问函数f(x)能否在x=-1处取到极值?若有可能,求出实数a,b的值;否则说明理由.(2)若函数f(x
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx. (1)若a=2b,试问函数f(x)能否在x=-1处取到极值?若有可能,求出实数a,b的值;否则说明理由. (2)若函数f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求w=a-4b的取值范围. |
答案
(1) 不能,理由见解析 (2) (-29,10) |
解析
解:(1)由题意f′(x)=x2+ax+b, ∵a=2b,∴f′(x)=x2+2bx+b. 若f(x)在x=-1处取极值, 则f′(-1)=1-2b+b=0,即b=1, 此时f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0, 函数f(x)为单调递增函数,这与该函数能在x=-1处取极值矛盾, 故该函数不能在x=-1处取得极值. (2)∵函数f(x)=x3+ax2+bx在区间(-1,2),(2,3)内分别有一个极值点, ∴f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,2),(2,3)内分别有一个实根, ∴⇒ ⇒ 画出不等式表示的平面区域,如图所示,
当目标函数w=a-4b过N(-5,6)时, 对应的w=-29; 当目标函数w=a-4b过M(-2,-3)时, 对应的w=10. 故w=a-4b的取值范围为(-29,10). |
举一反三
设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面不等式在R上恒成立的是( )A.f(x)>0 | B.f(x)<0 | C.f(x)>x | D.f(x)<x |
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已知函数f(x)=,其导函数记为f′(x),则f(2 012)+f′(2 012)+f(-2012)-f′(-2012)=________. |
已知函数f(x)=aln x+x2(a>0),若对定义域内的任意x,f′(x)≥2恒成立,则a的取值范围是________. |
设f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (2)如果对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为( ) |
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