解:(1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M. ∵g(x)=x3-x2-3, ∴g′(x)=3x2-2x=3x. g(x),g′(x)随x变化的情况如下表:
x
| 0
|
|
|
| 2
| g′(x)
| 0
| -
| 0
| +
|
| g(x)
| -3
|
| 极小值-
|
| 1
| 由上表可知,g(x)min=g=-,g(x)max=g(2)=1. [g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=,所以满足条件的最大整数M=4. (2)对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立, 等价于在区间上,函数f(x)min≥g(x)max. 由(1)可知,在区间上,g(x)的最大值g(2)=1. 在区间上,f(x)=+xln x≥1恒成立. 等价于a≥x-x2ln x恒成立, 记h(x)=x-x2ln x, 则h′(x)=1-2xln x-x,h′(1)=0. 当1<x<2时,h′(x)<0;当<x<1时,h′(x)>0, 即函数h(x)=x-x2ln x在区间上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,即实数a的取值范围是[1,+∞). |