试题分析:(1)利用函数在处的导数,等于在处切线的斜率,所以先求,再求,直线的斜率就是,直线过点,代入得到直线的方程,直线与的图象相切,所以代入联立,得到值;(2)先求, 得到,再求,令,得到的取值范围,即求得函数的单调递增区间;(3)令,,再求,得到极值点,然后列表分析当变化时,,的变化情况,结合为偶函数,画出的函数图形,再画,当直线上下变化时,可以看出交点的变化,根据交点的不同,从而确定,再不同的范围下得到不同的交点个数.此问注意分类讨论思想的使用,不要遗漏情况.属于较难习题. 试题解析:(1)解:由, 故直线的斜率为,切点为,,即,, 所以直线的方程为. 3分 直线与的图象相切,等价于方程组只有一解, 即方程有两个相等实根, 所以令,解得. 5分 (2)因为, 由, 令,所以, 所以函数的单调递增区间是,. 8分 (3)令,, 由,令,得,,, 10分 当变化时,,的变化情况如下表: 又为偶函数, 所以函数的图象如图:
当,时,方程无解; 当或,时,方程有两解; 当时,方程有三解; 当,时,方程有四解. 14分 |