已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.(1)求a;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3
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已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. (1)求a; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围. |
答案
(1)a=16(2)单调增区间为(-1,1),(3,+∞),单调减区间为(1,3).(3)(32ln 2-21,16ln 2-9) |
解析
f(x)的定义域为(-1,+∞). (1)f′(x)=+2x-10,又f′(3)=+6-10=0, ∴a=16.经检验此时x=3为f(x)的极值点,故a=16. (2)由(1)知f′(x)=. 当-1<x<1或x>3时,f′(x)>0; 当1<x<3时,f′(x)<0. ∴f(x)的单调增区间为(-1,1),(3,+∞), 单调减区间为(1,3). (3)由(2)知,f(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,且当x=1或x=3时,f′(x)=0.所以f(x)的极大值为f(1)=16ln 2-9,极小值为f(3)=32ln 2-21. 因为f(16)>162-10×16>16ln 2-9=f(1), f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3), 所以根据函数f(x)的大致图象可判断,在f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+∞)内,直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)<b<f(1). 因此b的取值范围为(32ln 2-21,16ln 2-9). |
举一反三
已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. |
已知函数f(x)=ln x+-1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设m∈R,对任意的a∈(-1,1),总存在x0∈[1,e],使得不等式ma-f(x0)<0成立,求实数m的取值范围. |
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( ).
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已知函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是________. |
设直线x=t,与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________. |
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