已知函数的图像在点处的切线斜率为10. (1)求实数的值;(2)判断方程根的个数,并证明你的结论;(21)探究: 是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两
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已知函数的图像在点处的切线斜率为10. (1)求实数的值;(2)判断方程根的个数,并证明你的结论;(21)探究: 是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)8;(2)一个,证明参考解析;(21)
解析
试题分析:(1)曲线上切线的斜率是通过导数的几何意义,求曲线的导数再将该点的横坐标代入即可求得该点的斜率,从而可解得
的值.
(2)判断方程的根的情况,一般是通过构造新的函数从而证明函数的与x轴的交点的个数得到对应方程的根的个数.
(21)因为是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.是通过说明过该点的切线方程与曲线方程联立后,构建一个新的函数,要说明该点不是新函数的极值点即可.
试题解析:(1)因为
.图像在点
处的切线斜率为10,
.解得
.
(2)方程
只有一个实根.证明如下:由(1)可知
,令
,因为
,
,所以在
内至少有一个实根.又因为
.所以
在
递增,所以函数
在
上有且只有一个零点,及方程
有且只有一个实根.
(21)由
,
,可求得曲线
在点
处的切线方程为
.即
.记
,
.若存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于
不是极值点,由二次函数的性质可知,当且仅当
时,
不是极值点,即
.所以
在
上递增.又
,所以当
时,
,当
时,
,即存在唯一点
.使得曲线在点A附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
举一反三
已知函数
(1)若函数
存在极大值和极小值,求
的取值范围;
(2)设
分别为
的极大值和极小值,其中
且
求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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定义在R上的函数
满足:
恒成立,若
,则
与
的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系不确定
题型:不详
难度:
|
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已知函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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若
f
(
x
)=-
x
2
+
b
ln (
x
+2)在(-1,+∞)上是减函数,则
b
的取值范围是________.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)的导函数
f
′(
x
),且满足
f
(
x
)=2
xf
′(1)+ln
x
,则
f
′(1)=( ).
A.-e
B.-1
C.1
D.e
题型:不详
难度:
|
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