已知函数.(Ⅰ)若是上是增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)证明:当a≥1时,证明不等式≤x+1对x∈R恒成立;(Ⅲ)对于在(0,1)中的任一个常数a,试探究是否
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已知函数.(Ⅰ)若是上是增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)证明:当a≥1时,证明不等式≤x+1对x∈R恒成立;(Ⅲ)对于在(0,1)中的任一个常数a,试探究是否
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(Ⅰ)若
是
上是增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)证明:当a≥1时,证明不等式
≤x+1对x∈R恒成立;
(Ⅲ)对于在(0,1)中的任一个常数a,试探究是否存在x
0
>0,使得
>x
0
+1成立?如果存在,请求出符合条件的一个x
0
;如果不存在,请说明理由.
答案
(I)a的取值范围为a≤0;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)可找到一个常数
,使得
>x
0
+1成立.
解析
试题分析:(I)
时,
,求导得
.由题意,
≥0在
上恒成立.因为e
x
>0恒成立,故只需
≥0在
上恒成立,结合抛物线的图象即可得a的取值范围;(Ⅱ)由题知f(x)≤x+1即为
-
≤x+1.由于含有
,故分
和
两种情况讨论.①在x≥0时,要证明
-
≤x+1成立,可变为证1≤
成立,这样只需利用导数求
的最小值即可,求导得
,易得
≥0,从而g(x)≥g(0)=1.注:直接证
也可,只是需要求两次导数.
②在x≤0时,要证
-
≤x+1成立,可变为证1≤
成立,这样只需利用导数求
的最小值即可.
(Ⅲ)要使f(x
0
)>x
0
+1成立,即
.如果变为
,那么求导后式子很复杂,故尝试作其它的变形.
变形为
,要找一个x
0
>0使该不等式成立,只需找到函数
的最小值,满足
即可.这利用导数就容易解决了.
试题解析:(I)∵
时,
,
∴
.
由题意,
≥0在
上恒成立,
当a=0时,
>0恒成立,即满足条件.
当a≠0时,要使
≥0,而e
x
>0恒成立,
故只需
≥0在
上恒成立,即
解得a<0.
综上,a的取值范围为a≤0. 4分
(Ⅱ)由题知f(x)≤x+1即为
-
≤x+1.
①在x≥0时,要证明
-
≤x+1成立,
只需证
≤
,即证1≤
, ①
令
,得
,
整理得
,
∵x≥0时,
≤1,结合a≥1,得
≥0,
∴
为在
上是增函数,故g(x)≥g(0)=1,从而①式得证.
②在x≤0时,要使
-
≤x+1成立,
只需证
≤
,即证1≤
, ②
令
,得
,
而
在x≤0时为增函数,
故
≤
≤0,从而
≤0,
∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证.
综上所述,原不等式
-
≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立. 10分
(Ⅲ)要使f(x
0
)>x
0
+1成立,即
,
变形为
, ③
要找一个x
0
>0使③式成立,只需找到函数
的最小值,满足
即可.
∵
,
令
得
,则x=-lna,取x
0
=-lna,
在0<x<-lna时,
,在x>-lna时,
,
即t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数,
∴当x=-lna时,
取得最小值
下面只需证明:
在
时成立即可.
又令
,
则
≥0,从而
在(0,1)上是增函数,
则
,从而
,得证.
于是
的最小值
,
因此可找到一个常数
,使得③式成立. 14分
举一反三
若存在x使不等式
>
成立,则实数m的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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设函数
.
(Ⅰ)若
在x=
处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数
的单调区间;
(Ⅲ)若函数
的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为
,证明
.
题型:不详
难度:
|
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若实数
满足
,则
的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.8
题型:不详
难度:
|
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若点
在函数
的图像上,点
在函数
的图像上,则
的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.8
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)若函数
有两个极值点
,且
,求证:
;
(Ⅲ)设
,对于任意
时,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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