设函数,.(1)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数、的值;(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围;(3)当,时,求函数在区间上的最小值

设函数,.(1)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数、的值;(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围;(3)当,时,求函数在区间上的最小值

题型:不详难度:来源:
设函数.
(1)若曲线在它们的交点处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围;
(3)当时,求函数在区间上的最小值.
答案
(1);(2);(3).
解析

试题分析:(1)从条件“曲线在它们的交点处有相同的切线”得到以及,从而列有关的二元方程组,从而求出的值;(2)将代入函数的解析式,利用导数分析函数在区间上的单调性,确定函数在区间上是单峰函数后,然后对函数的端点值与峰值进行限制,列不等式组解出的取值范围;(3)将代入函数的解析式,并求出函数的单调区间,对函数的极值点是否在区间内进行分类讨论,结合函数的单调性确定函数在区间上的最小值.
试题解析:(1)因为,所以.
因为曲线在它们的交点处有相同切线,
所以,且
,且,解得
(2)当时,
所以
,解得
变化时,的变化情况如下表:














极大值

极小值

所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
在区间内单调递增,在区间内单调递减.
从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当
,解得.
所以实数的取值范围是.
(3)当时,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为
由于,所以
①当,即时,
②当时,
③当时,在区间上单调递增,
综上可知,函数在区间上的最小值为
.
举一反三
已知函数.
(1)若处取得极值,求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
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某商场预计2014年从1月起前个月顾客对某种商品的需求总量(单位:件)
(1)写出第个月的需求量的表达式;
(2)若第个月的销售量(单位:件),每件利润(单位:元),求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达到最大值?月利润的最大值是多少?(参考数据:
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已知a为实数,x=1是函数的一个极值点。
(Ⅰ)若函数在区间上单调递减,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设函数,对于任意,有不等式
恒成立,求实数的取值范围.
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已知
(1)曲线y=f(x)在x=0处的切线恰与直线垂直,求的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求证:
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已知点是函数图象上不同于的一点.有如下结论:
①存在点使得是等腰三角形;
②存在点使得是锐角三角形;
③存在点使得是直角三角形.
其中,正确的结论的个数为(    )
A.0B.1C.2D.3

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