试题分析:(1)从条件“曲线 与 在它们的交点 处有相同的切线”得到 以及 ,从而列有关 、 的二元方程组,从而求出 与 的值;(2)将 代入函数 的解析式,利用导数分析函数 在区间 上的单调性,确定函数 在区间 上是单峰函数后,然后对函数 的端点值与峰值进行限制,列不等式组解出 的取值范围;(3)将 , 代入函数 的解析式,并求出函数 的单调区间,对函数 的极值点是否在区间 内进行分类讨论,结合函数的单调性确定函数 在区间 上的最小值. 试题解析:(1)因为 , ,所以 , . 因为曲线 与 在它们的交点 处有相同切线, 所以 ,且 , 即 ,且 ,解得 , ; (2)当 时, , 所以 , 令 ,解得 , , 当 变化时, 、 的变化情况如下表: 所以函数 的单调递增区间为 、 ,单调递减区间为 . 故 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减. 从而函数 在区间 内恰有两个零点,当且仅当 , 即 ,解得 . 所以实数 的取值范围是 . (3)当 , 时, . 所以函数 的单调递增区间为 、 ,单调递减区间为 . 由于 , ,所以 . ①当 ,即 时, ; ②当 时, ; ③当 时, 在区间 上单调递增, ; 综上可知,函数 在区间 上的最小值为
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