试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识,考查分类讨论思想,综合分析和解决问题的能力.第一问,对求导,将代入得到切线的斜率,由已知切线与直线垂直得出方程,解出的值;第二问,先对求导,利用导数的正负判断出函数的单调区间,再讨论已知和单调区间的关系来决定最值的位置;第三问,利用第二问的结论,得出,因为,所以数形结合,得,解得,数形结合得出两组点的横坐标的关系,又利用,得出,,进行转换得到所求证的不等式. 试题解析:(1)由, 得:,则, 所以,得. (2)令,得,即. 由,得,由,得, ∴在上为增函数,在为减函数. ∴当,即时,. 当,即时,. 当,即时,. (3)由(2)知,, ∵,∴, ∴,得,∴,且. 得,又,, ∴. |