( I)∵动圆和直线l:x=-相切,并且经过点F(,0), ∴圆心θ到F(,0)的距离等于θ到定直线l:x=-的距离,都等于圆的半径…(2分) 根据抛物线的定义,可得:圆心θ的轨迹C就是以F为焦点,l为准线的抛物线,…(3分) 设抛物线方程为y2=2px,其中=,解得p=1 ∴抛物线方程是y2=2x,即为所求轨迹C的方程.…(6分) ( II)证明:设过点P(2,0)且斜率为k的直线的方程为 y=k(x-2)(k≠0)①…(7分) 代入y2=2x消去y,可得k2x2-2(k2+1)x+4k2=0.②…(8分) 由根与系数的关系,得x1x2==4.…(9分) 结合y12=2x1,y22=2x2,可得y1y2==2=4.…(10分) ∴•=x1x2+y1y2=4-4=0, 由此可得向量、夹角为90°,即OM⊥ON.…(12分) |