已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的

已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的

题型:不详难度:来源:
已知双曲线
x2
2
-y2=1
的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.
答案
(1)由A1,A2为双曲线的左右顶点知,A1(-


2
,0),A2(


2
,0)

A1P:y=
y1
x1+


2
(x+


2
)
A2Q:y=
-y1
x1-


2
(x-


2
)

两式相乘得y2=
-
y21
x21
-2
(x2-2)

因为点P(x1,y1)在双曲线上,所以
x21
2
-
y21
=1
,即
y21
x21
-2
=
1
2

所以y2=-
1
2
(x2-2)
,即
x2
2
+y2=1

故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为
x2
2
+y2=1
.(x≠±


2
,x≠0)
(2)设l1:y=kx+h(k>0),则由l1⊥l2知,l2:y=-
1
k
x+h

将l1:y=kx+h代入
x2
2
+y2=1
x2
2
+(kx+h)2=1

即(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,
若l1与椭圆相切,则△=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,即1+2k2=h2
同理若l2与椭圆相切,则1+2•
1
k2
=h2

由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:
[1]直线l1与l2都与椭圆相切,即1+2k2=h2,且1+2•
1
k2
=h2
,消去h2
1
k2
=k2
,即k2=1,
从而h2=1+2k2=3,即h=


3

[2]直线l1过点A1(-


2
,0)
,而l2与椭圆相切,此时k•(-


2
)+h=0
1+2•
1
k2
=h2
,解得h=


1+


17
2

[3]直线l2过点A2(


2
,0)
,而l1与椭圆相切,此时-
1
k


2
+h=0
,1+2k2=h2,解得h=


1+


17
2

[4]直线l1过点A1(-


2
,0)
,而直线l2过点A2(


2
,0)
,此时k•(-


2
)+h=0
-
1
k


2
+h=0
,∴h=


2

综上所述,h的值为


2


3


1+


17
2
举一反三
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,-2)和C(0,2),顶点A满足sinB+sinC=
3
2
sinA

(1)求顶点A的轨迹方程;
(2)若点P(x,y)在(1)轨迹上,求μ=2x-y的最值.
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如图,梯形ABCD中,ABCD,且AB⊥平面α,AB=2BC=2CD=4,点P为α内一动点,且∠APB=∠DPC,则P点的轨迹为(  )
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

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已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为A,异于点A的两动点B、C分别在l1、l2上,且BC=3,则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为(  )
A.6πB.9πC.
2
D.
9
4
π
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已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)设l与圆C交与不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)若定点P(1,1)分弦AB为
AP
PB
=
1
2
,求此时直线l的方程.
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在平面斜坐标系xoy中∠xoy=45°,点P的斜坐标定义为:“若


OP
=x0


e1
+y0


e2
(其中,


e1


e2
分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0)且动点M(x,y)满足|


MF1
|=|


MF2
|,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为(  )
A.x=0B.y=0C.


2
x+y=0
D.


2
x-y=0

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