试题分析:(1)先求 ,解不等式 并和定义域求交集,得 的单调递增区间;解不等式 并和定义域求交集,得 的单调递减区间;(2)等价于 在 时恒成立,即 ,故 ,得实数a的取值范围;(3)由特称量词的含义知,在区间 内存在两个独立变量 ,使得已知不等式成立,等价于![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035103-17424.png) 的最小值小于等于![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035103-22551.png) 的最大值,分别求两个函数的最小值和最大值,建立实数 的不等式,进而求 的范围. 试题解析:由已知函数 的定义域均为 ,且 . (Ⅰ)函数 ,当 且 时, ;当 时, . 所以函数 的单调减区间是 ,增区间是 . (Ⅱ)因f(x)在 上为减函数,故 在 上恒成立. 所以当 时, .又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035106-42183.png) ,故当 ,即 时, .所以 于是 ,故a的最小值为 . (Ⅲ)命题“若 使 成立”等价于“当 时, 有 ”. 由(Ⅱ),当 时, ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035109-56668.png) . 问题等价于:“当 时,有 ”.
当 时,由(Ⅱ), 在 上为减函数,则 = ,故 .
当0< 时,由于![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018035111-45900.png) 在 上为增函数,故 的值域为 ,即 .由 的单调性和值域知, 唯一 ,使 ,且满足:当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数;所以, = , .所以, ,与 矛盾,不合题意.综上,得 . |