设函数其中,曲线在点处的切线方程为.(I)确定的值;(II)设曲线在点处的切线都过点(0,2).证明:当时,;(III)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,

设函数其中,曲线在点处的切线方程为.(I)确定的值;(II)设曲线在点处的切线都过点(0,2).证明:当时,;(III)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,

题型:不详难度:来源:
设函数其中,曲线在点处的切线方程为
(I)确定的值;
(II)设曲线在点处的切线都过点(0,2).证明:当时,
(III)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.
答案
(I);(II)详见试题解析;(III)的取值范围是
解析

试题分析:(I)根据导数的几何意义,首先对函数求导,可得,由已知:曲线在点处的切线方程为,从而可得的值及,又,故得;(II)先利用导数的几何意义,求出在点处的切线方程为,而点在切线上,所以,化简即得满足的方程为,下面利用反证法明当时,;(III)由(II)知,过点可作的三条切线,等价于方程有三个相异的实根,即等价于方程有三个相异的实根.构造函数,利用导数求函数的极大值、极小值,只要的极大值与极小值异号即可,解这个不等式组即可求得的取值范围.
试题解析:(I)由又由曲线处的切线方程为,得
(II)处的切线方程为,而点在切线上,所以,化简得,即满足的方程为
下面用反证法证明:假设处的切线都过点,则下列等式成立.

由(3)得
,故由(4)得,此时矛盾,
(III)由(II)知,过点可作的三条切线,等价于方程有三个相异的实根,即等价于方程有三个相异的实根.
,则,由于,故有


0




+
0

0
+


极大值1

极小值

 的单调性知:要使有三个相异的实根,当且仅当<0,
的取值范围是
举一反三
已知函数
(1)若函数的图象在公共点P处有相同的切线,求实数的值及点P的坐标;
(2)若函数的图象有两个不同的交点M、N,求实数的取值范围 .
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已知函数的定义域为,部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示.下列关于的命题:

①函数的极大值点为
②函数上是减函数;
③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
④当时,函数个零点;
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是                           
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是函数的一个极值点.
(1)求的关系式(用表示),并求的单调递增区间;
(2)设,若存在使得成立,求实数的取值范围.
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已知函数,且.
(1)判断的奇偶性并说明理由;
(2)判断在区间上的单调性,并证明你的结论;
(3)若对任意实数,有成立,求的最小值.
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已知函数
(1)写出函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数上值域是,求实数的取值范围.
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