试题分析:(I)求极值一般遵循“求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值”. (Ⅱ)函数在区间上为单调递增,因此,其导函数为正数恒成立,据此建立的不等式求解. 应注意结合的不同取值情况加以讨论. (Ⅲ)通过确定函数的极大值、极小值点,, 并确定的中点. 设是图象任意一点,由,可得, 根据,可知点在曲线上,作出结论. 本题难度较大,关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求. 试题解析:(I),, 当时,, 令得. 在分别单调递增、单调递减、单调递增, 于是,当时,函数有极大值,时,有极小值. ------4分 (Ⅱ),若函数在区间上为单调递增, 则在上恒成立, 当,即时,由得; 当,即时,,无解; 当,即时,由得. 综上,当函数在区间上为单调递增时,或. 10分 (Ⅲ),, 令,得, 在区间,,上分别单调递增,单调递减,单调递增, 于是当时,有极大值; 当时,有极小值. 记,, 的中点, 设是图象任意一点,由,得, 因为 , 由此可知点在曲线上,即满足的点在曲线上. 所以曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立 . 14分 |