试题分析:(Ⅰ)先构造函数 ,利用函数的单调性与导数的关系,求得函数的最小值是 ,找到关系 ;再构造函数 ,利用函数的单调性与导数的关系,求得函数的最小值是 ,找到关系 .从而证得“ ”;(Ⅲ)先求出 以及 ,根据导数与切线方程的关系,由斜率不变得到 ,再根据两点间的斜率公式得到 .首先由指数函数的性质可得 ,那么 ,然后由 得到 ,解得 . 试题解析:(Ⅰ)令 , . 1分 令 ,解得 . 当 时, ;当 ,时 . ∴当 时, , ∴ . 3分 令 , . 4分 令 ,解得 . 当 时, ;当 时, . ∴当 时, , ∴ , 6分 ∴ . 7分 (Ⅲ) , ,切点的坐标分别为 ,可得方程组:
11分 ∵ , ∴ ,∴ , ∴ . 12分 由②得, ,∴ , 13分 ∵ ,∴ ,∴ ,即 , ∴ . 14分 |