试题分析:(1)将,代入函数的解析式,然后利用导数求出函数的最大值;(2)先确定函数的解析式,并求出函数的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为,利用恒成立的思想进行求解;(3)方法一是利用参数分离,将问题转化为方程、有且仅有一个实根,然后构造新函数,利用导数求出函数的极值从而求出参数的值;方法二是直接构造新函数,利用导数求函数的极值,并对参数的取值进行分类讨论,从而求出参数的值. 试题解析:(1)依题意,的定义域为, 当,时,,, 由 ,得,解得; 由 ,得,解得或. ,在单调递增,在单调递减; 所以的极大值为,此即为最大值; (2),,则有在上有解, ∴, , 所以当时,取得最小值,; (3)方法1:由得,令,, 令,,∴在单调递增, 而,∴在,,即,在,,即, ∴在单调递减,在单调递增, ∴极小值为,令,即时方程有唯一实数解. 方法2:因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解, 设,则,令, 因为,,所以(舍去),, 当时,,在上单调递减, 当时,,在上单调递增, 当时,取最小值. 若方程有唯一实数解, 则必有 即 所以,因为所以 12分 设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解. ∵,∴方程(*)的解为,即,解得. |