已知函数在上是增函数,(1)求实数的取值集合;(2)当取值集合中的最小值时,定义数列;满足且,,求数列的通项公式;(3)若,数列的前项和为,求证:.

已知函数在上是增函数,(1)求实数的取值集合;(2)当取值集合中的最小值时,定义数列;满足且,,求数列的通项公式;(3)若,数列的前项和为,求证:.

题型:不详难度:来源:
已知函数上是增函数,
(1)求实数的取值集合
(2)当取值集合中的最小值时,定义数列;满足,求数列的通项公式;
(3)若,数列的前项和为,求证:.
答案
(1);(2);(3)详见解析
解析

试题分析:(1)函数在区间是增函数,说明恒成立,再参变分离确定的取值集合
(2)由(1)知,表示,代入中,得关于的递推式,再根据递推公式求通项公式,常见的根据递推公式求通项公式的方法有:①,用累积法;②,用累加法;③(p,q是常数),用构造法;④(p,q,m是常数),用两边取倒数,再用构造法,该题,用③求;(3)首先求数列的通项公式,再根据通项公式的具体形式,选择合适的求和方法,常见的求和方法有①直接法,直接利用等比数列或等差数列前n项和公式;②裂项相消法,在求和的过程中互相抵消的办法;③错位相减法,适合于通项公式是等差数列乘以等比数列的类型;④分组求和法,分组分别求和再相加的办法;⑤奇偶并项求和法,研究奇数项和偶数项的特点来求和的办法,该题,利用③④结合起来求和,再证明不等式成立.
试题解析:(1) 因为函数上是增函数,只需满足恒成立,即,所以
(2)由(1)知,因为,∴,且,所以,∴,∴是以2为首项,3为公比的等比数列,故
(3)由(2)知,令
,两式相减得,故.
举一反三
已知函数上的减函数.
(Ⅰ)求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)关于的方程()有两个根(无理数e=2.71828),求m的取值范围.
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已知函数,则的极大值为       .
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若函数为实常数).
(1)当时,求函数处的切线方程;
(2)设.
①求函数的单调区间;
②若函数的定义域为,求函数的最小值.
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已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.
(1)求双曲线的方程;(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
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曲线在点处的切线经过点,则    ______
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