试题分析:(1)先有已知条件写出的解析式,然后求导,根据导数与函数极值的关系得到,解得的值;(2)由构造函数,则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根,对函数求导,根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间,再由零点的存在性定理得到,解不等式组即可;(3)证明不等式,即是证明,即.对函数求导,利用导数研究函数的单调性,找到其在区间上的最大值,则有成立,那么不等式得证. 试题解析:(1) 由题意知则, 2分 ∵时, 取得极值,∴,故,解得. 经检验符合题意. 4分 (2)由知 由 ,得, 5分 令, 则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根. , 7分 当时,,于是在上单调递增; 当时,,于是在上单调递减.依题意有 ,即, .9分 (3) 的定义域为,由(1)知, 令得,或 (舍去), 11分 ∴当时,,单调递增; 当时,,单调递减. ∴为在上的最大值. ∴,故 (当且仅当时,等号成立) 12分 对任意正整数,取得,, 故. 14分 |