已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数在[上的单调性;(Ⅱ)如果,是函数的两个零点,为函数的导数,证明:.

已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数在[上的单调性;(Ⅱ)如果,是函数的两个零点,为函数的导数,证明:.

题型:不详难度:来源:
已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数在[上的单调性;
(Ⅱ)如果是函数的两个零点,为函数的导数,证明:.
答案
(Ⅰ)当时,函数上单调递减;(Ⅱ)详见解析.
解析

试题分析:(Ⅰ)不是常见的函数的单调性问题,可以采用求导得方法.通过定导数的正负来确定单调性.在本题中,求导得,但发现还是无法直接判断其正负.这时注意到上单调递减,可以得到其最大值,即,而,所以,从而得函数上单调递减;(Ⅱ)通过是函数的两个零点把表示出来,代入中,由分成两段分别定其正负.易知为负,则化成,再将视为整体,通过研究的单调性确定的正负,从而最终得到.本题中通过求导来研究的单调性,由其最值确定的正负.其中要注意的定义域为从而这个隐含范围.
试题解析:(Ⅰ),     1分
易知上单调递减,        2分
∴当时,.      3分
时,上恒成立.
∴当时,函数上单调递减.    5分
(Ⅱ)是函数的两个零点,
  (1)
  (2)    6分
由(2)-(1)得:
    8分
,所以

代入化简得:    9分
因为,故只要研究的符号
    10分
,则,且
,                       12分
所以
时,恒成立,所以上单调递增,所以当时,
,所以,又,故,所以,即,又
,所以.    14分
举一反三
已知函数为函数的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(2)若函数,求函数的单调区间.
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已知函数
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)若在区间上是增函数,求实数的取值范围.
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已知a>0,函数.
(1)若,求函数的极值,
(2)是否存在实数,使得成立?若存在,求出实数的取值集合;若不存在,请说明理由.
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设函数
(1)若,求的单调区间,
(2)当时,,求的取值范围.
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设函数,其中为常数。
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数有极值点,求的取值范围及的极值点。
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