已知函数f(x)=-alnx,a∈R.(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ
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已知函数f(x)=-alnx,a∈R.(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
-
alnx,a∈R.
(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),
(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ(a)≤1;
(ⅱ)当a>0,b>0时,证明:φ′(
)≤
≤φ′(
).
答案
(Ⅰ)φ(a)=a-alna(a>0);(Ⅱ)详见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数单调性,求最值;(Ⅱ)利用导数分析函数单调性,分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)求导数,得f ′(x)=
-
=
(x>0).
(1)当a≤0时,f ′(x)=
>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,无最小值.
(2)当a>0时,令f ′(x)=0,解得x=a
2
.
当0<x<a
2
时,f ′(x)<0,∴f(x)在(0,a
2
)上是减函数;
当x>a
2
时,f ′(x)>0,∴f(x)在(a
2
,+∞)上是增函数.
∴f(x)在x=a
2
处取得最小值f(a
2
)=a-alna.
故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=a-alna(a>0). 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知φ(a)=a-alna(a>0),
求导数,得φ′(a)=-lna.
(ⅰ)令φ′(a)=0,解得a=1.
当0<a<1时,φ′(a)>0,∴φ(a)在(0,1)上是增函数;
当a>1时,φ′(a)<0,∴φ(a)在(1,+∞)上是减函数.
∴φ(a)在a=1处取得最大值φ(1)=1.
故当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1. 10分
(ⅱ)当a>0,b>0时,
=-
=-ln
, ①
φ′(
)=-ln(
)≤-ln
, ②
φ′(
)=-ln(
)≥-ln
=-ln
, ③
由①②③,得φ′(
)≤
≤φ′(
). 14分
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+2bx
2
+cx+1有两个极值点x
1
、x
2
,且x
1
∈[-2,-1],x
2
∈[1,2],则f(-1)的取值范围是 ( )
A.[-,3]
B.[,6]
C.[3,12]
D.[-,12]
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ae
x
,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求常数a的值;(2)若存在x使不等式
>
成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x
0
,我们把|f(x
0
)-g(x
0
)|的值称为两函数在x
0
处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
,设函数
,且函数
的零点均在区间
内,则
的最小值为( )
A.11
B.10
C.9
D.8
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(Ⅲ)求证:
(
,e是自然对数的底数).
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(
是自然对数的底数).
(1)若曲线
在
处的切线也是抛物线
的切线,求
的值;
(2)当
时,是否存在
,使曲线
在点
处的切线斜率与
在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的
的个数;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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