已知函数f(x)=-alnx,a∈R.(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ

已知函数f(x)=-alnx,a∈R.(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ

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已知函数f(x)=alnx,a∈R.
(Ⅰ)当f(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的φ(a),
(ⅰ)当a∈(0,+∞)时,证明:φ(a)≤1;
(ⅱ)当a>0,b>0时,证明:φ′()≤≤φ′().
答案
(Ⅰ)φ(a)=a-alna(a>0);(Ⅱ)详见解析.
解析

试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数单调性,求最值;(Ⅱ)利用导数分析函数单调性,分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)求导数,得f ′(x)=(x>0).
(1)当a≤0时,f ′(x)=>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,无最小值.
(2)当a>0时,令f ′(x)=0,解得x=a2
当0<x<a2时,f ′(x)<0,∴f(x)在(0,a2)上是减函数;
当x>a2时,f ′(x)>0,∴f(x)在(a2,+∞)上是增函数.
∴f(x)在x=a2处取得最小值f(a2)=a-alna.
故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=a-alna(a>0).         6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知φ(a)=a-alna(a>0),
求导数,得φ′(a)=-lna.
(ⅰ)令φ′(a)=0,解得a=1.
当0<a<1时,φ′(a)>0,∴φ(a)在(0,1)上是增函数;
当a>1时,φ′(a)<0,∴φ(a)在(1,+∞)上是减函数.
∴φ(a)在a=1处取得最大值φ(1)=1.
故当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1.             10分
(ⅱ)当a>0,b>0时,
=-=-ln,               ①
φ′()=-ln()≤-ln,                  ②
φ′()=-ln()≥-ln=-ln,        ③
由①②③,得φ′()≤≤φ′().         14分
举一反三
已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围是         (  )
A.[-,3]B.[,6]C.[3,12]D.[-,12]

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已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求常数a的值;(2)若存在x使不等式>成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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已知函数,,设函数,且函数的零点均在区间内,则的最小值为(     )
A.11B.10C.9D.8

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已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)求证:,e是自然对数的底数).
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已知函数是自然对数的底数).
(1)若曲线处的切线也是抛物线的切线,求的值;
(2)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与 在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.
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