已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.(
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已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.(
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ae
x
,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且函数y=f(x)和y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求常数a的值;(2)若存在x使不等式
>
成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x
0
,我们把|f(x
0
)-g(x
0
)|的值称为两函数在x
0
处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
答案
(1) a=1.(2) (-∞,0).(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)求出交点,切线平行即导数值相等可解;(2)转化为新函数,求出导数,利用单调性极值解;(3)构造新函数求导,利用单调性证明.
试题解析:(1)f(x)与坐标轴的交点为(0,a),f′(0)=a,g(x)与坐标轴的交点为(a,0),g′(a)=
.
∴a=
,得a=±1,又a>0,故a=1.
(2
>
可化为m<x-
e
x
.令h(x)=x-
e
x
,则h′(x)=1-(
)e
x
.
∵x>0,∴
+
≥
,e
x
>1
(
+
)e
x
>1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,因此h(x)<h(0)=0. ∴实数m的取值范围是(-∞,0).
(3)y=f(x)与y=g(x)的公共定义域为(0,+∞),|f(x)-g(x)|=|e
x
-lnx|=e
x
-lnx.
令h(x)=e
x
-x-1,则h′(x)=e
x
-1>0.∴h(x)在(0,+∞)上是增函数.
故h(x)>h(0)=0,即e
x
-1>x. ①
令m(x)=lnx-x+1,则m′(x)=
-1.
当x>1时,m′(x)<0,当0<x<1时,m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x. ②
由①②,得e
x
-1>lnx+1,即e
x
-lnx>2.
∴函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
举一反三
已知函数
,
,设函数
,且函数
的零点均在区间
内,则
的最小值为( )
A.11
B.10
C.9
D.8
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(Ⅲ)求证:
(
,e是自然对数的底数).
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(
是自然对数的底数).
(1)若曲线
在
处的切线也是抛物线
的切线,求
的值;
(2)当
时,是否存在
,使曲线
在点
处的切线斜率与
在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的
的个数;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知
(
).
(1)当
时,判断
在定义域上的单调性;
(2)若
在
上的最小值为
,求
的值;
(3)若
在
上恒成立,试求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)若函数
的图象在
处的切线斜率为
,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数
的单调区间;
(3)若函数
在
上是减函数,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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