如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，

题型：不详难度：来源：

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线

排，在路南侧沿直线

排，现要在矩形区域

内沿直线将

与

接通．已知

，

，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的

部分的排管费用为每米2万元，设

与

所成的小于

的角为

．

（Ⅰ）求矩形区域

内的排管费用

关于

的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角

．

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）最小费用为

万元，相应的角

为

解析

试题分析：（Ⅰ）把

，

的长度分别用

表示，分别求出费用相加即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，用导数为工具，判断其单调区间，求出最小值.
试题解析：（Ⅰ）如图，过

作

，垂足为

，由题意得

，

故有

，

． 4分
所以

5分

． 8分
（Ⅱ）设

(其中

)，
则

． 10分
令

得

，即

，得

． 11分
列表


+	0	-
单调递增	极大值	单调递减

所以当

时有

，此时有

． 15分
答：排管的最小费用为

万元，相应的角

． 16分

举一反三

已知函数

（

为常数）．
（1）当

时，求

的单调递减区间；
（2）若

，且对任意的

，

恒成立，求实数

的取值范围.

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已知函数f(x)＝

＋aln(x－1)（a∈R）．
（Ⅰ）若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝2时，求证：1－

＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2）；
（Ⅲ）求证：

＋

＋…＋

＜lnn＜1＋

＋＋

（n∈N^*，且n≥2）．

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已知函数f(x)＝

－

alnx，a∈R．
（Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，
（ⅰ）当a∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′(

)≤

≤φ′(

)．

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已知函数f(x)＝x³＋2bx²＋cx＋1有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[－2，－1]，x₂∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 (　　)

A．[－，3]

B．[，6]

C．[3,12]

D．[－，12]

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已知函数f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
(1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式

成立，求实数m的取值范围；
(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x₀，我们把|f(x₀)－g(x₀)|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

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