已知函数,其中为自然对数的底数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(Ⅱ)若函数存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为,求的值.

已知函数,其中为自然对数的底数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(Ⅱ)若函数存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为,求的值.

题型:不详难度:来源:
已知函数,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,求曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若函数存在一个极大值和一个极小值,且极大值与极小值的积为,求
值.
答案
(Ⅰ)所求面积为. (Ⅱ).
解析

试题分析:(Ⅰ),    当时,
,所以曲线处的切线方程为切线与轴、轴的交点坐标分别为, 所以,所求面积为.
(Ⅱ)因为函数存在一个极大值点和一个极小值点,
所以,方程内存在两个不等实根,
.  ,则
为函数的极大值和极小值,

因为,,所以,

解得,,此时有两个极值点,所以.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)涉及方程实根的讨论及研究,运用了韦达定理,轻声道切线斜率,等于函数在切点的导函数值。
举一反三
,若,则(    )
A.B.C.D.

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设曲线在点处的切线与直线平行,则实数等于(   )
A.B.C.D.

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已知函数上可导,且
比较大小:  __ 
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已知函数
(1)若上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,求实数的值;
(2)当时,求证:当时,
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函数

(1)若处取极值,求的值;
(2)设直线将平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不包括边界),若图象恰好位于其中一个区域,试判断其所在区域并求出相应的的范围.
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