设函数,其中。(Ⅰ)若,求a的值;(Ⅱ)当时,讨论函数在其定义域上的单调性;(Ⅲ)证明:对任意的正整数,不等式都成立。
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设函数,其中。(Ⅰ)若,求a的值;(Ⅱ)当时,讨论函数在其定义域上的单调性;(Ⅲ)证明:对任意的正整数,不等式都成立。
题型:不详
难度:
来源:
设函数
,其中
。
(Ⅰ)若
,求
a
的值;
(Ⅱ)当
时,讨论函数
在其定义域上的单调性;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数
,不等式
都成立。
答案
(Ⅰ)解: 函数
的定义域是
1分
对
求导,得
3分
由
得
解得
4分
(Ⅱ)解由(Ⅰ)知
令
,得
,则
。
所以当
时,
方程
存在两根
x变化时,
与
的变化情况如下表:
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
即函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增; 7分
当
时,因为
所以
(当且仅当
时,等号成立),
所以函数
在
上单调递增; 8分
当
时,因为
所以函数
在
上单调递增。
综上,当
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增;当
时,函数
在
上单调递增。 9分
(Ⅲ)证明:当
时,
令
则
在
上恒成立,
所以
在
上单调递增, 10分
则当
时,恒有
即当
时,有
整理,得
11分
对任意正整数n,取
得
,
所以
,整理得
12分
则有
……
所以
,
即
14分
解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和极值以及不等式的恒成立问题的综合运用。
(1)因为先求解导数,然后令x=1得到
,求解得到
a
的值;
(2)当a<0时,分类讨论函数f(x)在其定义域上的单调性;
(3)要证明:对任意的正整数n,不等式都成立,要用到当a=1时函数的单调性中的结论来分析求证。
举一反三
设
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知
,则
.
题型:不详
难度:
|
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下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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与曲线
相切于点
处的切线方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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下列结论中正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点.
B.如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值.
C.如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
D.如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值.
题型:不详
难度:
|
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