(12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.(1)求a,b的值;(2)求

(12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.(1)求a,b的值;(2)求

题型:不详难度:来源:
(12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[-2,4]上的最大值.
答案
解: (1)f′(x)=x2-2ax+a2-1,
∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,
∵(1,2)在y=f(x)上,∴2=-a+a2-1+b,
又f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0,
解得a=1,b.
(2)∵f(x)=x3-x2,∴f′(x)=x2-2x,
由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2)
∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,
∴在区间[-2,4]上的最大值为8.
解析

举一反三
(本小题满分13分)已知.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数(b、c、d为常数),当时,只有一个实根,当时,有3个相异实根,现给出下列4个命题:
①函数有2个极值点;②函数有3个极值点;③有一个相同的实根;④有一个相同的实根。
其中正确命题的个数是(   )
A.1B.2C.3D.4

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已知,则的值为___▲___
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(本题满分16分)已知定义在上的函数,其中为常数.
(1)若是函数的一个极值点,求的值;
(2)若函数在区上是增函数,求的取值范围;
(3)若函数,在处取得最大值,求正数的取值范围.
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(本题满分16分)
已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)若在区间上恒成立,求的取值范围;
(3)当时,求证:在区间上,满足恒成立的函数有无穷多个.
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