(I)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n="-3," …………①…………1分 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以-=0,所以m=-3,………………3分 代入①得n=0……………………5分 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞);……………………6分 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2)……………………6分 (II)由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
X
| (-∞.0)
| 0
| (0,2)
| 2
| (2,+ ∞)
| f′(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
| ↗
| 极大值
| ↘
| 极小值
| ↗
| 由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(O)=-2,无极小值;…………9分 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;………………11分 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;…………13分 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值………………15分 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值,当1<a<3时,f(x)有极小值-6, 无极大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值 |