(本题满分12分)设函数f (x) =(b,c∈N*),若方程f(x) = x的解为0,2,且f (–2)<–.(Ⅰ)试求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知各项
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(本题满分12分)设函数f (x) =(b,c∈N*),若方程f(x) = x的解为0,2,且f (–2)<–.(Ⅰ)试求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知各项
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分12分)设函数
f
(
x
) =
(
b
,
c
∈N
*
),若方程
f
(
x
) =
x
的解为0,2,且
f
(–2)<–
.(Ⅰ)试求函数
f
(
x
)的单调区间;(Ⅱ)已知各项不为零的数列{
a
n
}满足4
S
n
·
f
(
) = 1,其中
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和.求证:
.
答案
(Ⅰ)
f
(
x
)的单调递增区间为(–∞,0),(2,+∞)单调递减区间为(0,1),(1,2)(Ⅱ) 略
解析
(Ⅰ)解
.------(2分)
由
f
(–2) =
又∵
b
,
c
∈N
*
∴
c
= 2,
b
= 2
∴
f
(
x
) =
.-------(4分)
令
f
′(
x
)>0得:
x
<0或
x
>2,令
f
′(
x
)<0得:0<
x
<2∴
f
(
x
)的单调递增区间为(–∞,0),
(2,+∞)
f
(
x
)的单调递减区间为(0,1),(1,2)--------(6分)
(Ⅱ)证明:由已知可得:2
S
n
=
a
n
–
,
两式相减得:(
a
n
+
a
n
– 1
) (
a
n
–
a
n
– 1
+1) =" 0" (
n
≥2)∴
a
n
= –
a
n
–1
或
a
n
–
a
n
–1
=" –1 " -(7分)
当
n
="1" 时,2
a
1
=
a
1
–
若
a
n
= –
a
n
–1
,则
a
2
= –
a
1
= 1与
a
n
≠1矛盾.(定义域要求
a
n
≠1)∴
a
n
–
a
n
–1
= 1,∴
a
n
= –
n
.(8分)
要证的不等式转化为
先证不等式
令
g
(
x
) =
x
–ln(1 +
x
),
h
(
x
) = ln(
x
+1) –
-----(10分)
则
g
′(
x
) =
,
h
′(
x
) =
∵
x
>0 ∴
g
′(
x
)>0,
h
′(
x
)>0∴
g
(
x
),
h
(
x
)在(0,+∞)上单调递增,
∴
g
(
x
)>
g
(0) = 0,
h
(
x
)>
h
(0) =" 0 " ∴
。
故
,即
-----(12分)
举一反三
(本小题满分12分)已知函数
,
是常数,
.
⑴若
是曲线
的一条切线,求
的值;
⑵
,试证明
,使
.
题型:不详
难度:
|
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(12分)已知
设
的反函数为
。
(I)求
的单调区间;(II)若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分13分)已知定义在正实数集上的函数
,
,其中
. 设两曲线
,
有公共点,且在该点处的切线相同.(I)用
表示
;(II)求证:
(
).
题型:不详
难度:
|
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求函数的导数:
题型:不详
难度:
|
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利用导数求和
(1)
S
n
=1+2
x
+3
x
2
+…+
nx
n
-
1
(
x
≠0,
n
∈N
*
)
(2)
S
n
=C
+2C
+3C
+…+
n
C
,(
n
∈N
*
)
题型:不详
难度:
|
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