解:(理)(1)f′(x)= +a=………………………………1分 (i)若a=0时,f′(x)= >0x>0,f′(x)<0x<0 ∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减。 …………………………3分 (ii)若时,f′(x)≤0对x∈R恒成立。 ∴f(x)在R上单调递减。 ……………………………6分 (iii)若-1<a<0,由f′(x)>0>0<x< 由f′(x)<0可得x>或x< ∴f(x)在[,]单调递增 在(-∞,],[上单调递减。 综上所述:若a≤-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。………………………………7分 (2)由(1)当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。 当x∈(0,+∞)时f(x)<f(0) ∴ln(1+x2)-x<0 即ln(1+x2)<x ∴ln[(1+)(1+)……(1+)] =ln[(1+)(1+)+…ln(1+)<++…+ <=1-+-+…+=1-<1 ∴(1+)(1+)……(1+)<e …………………………………………13分 |