若对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（ ）A．恒大于0B．恒小于0C．恒等于0D．和0的大小关系不确定
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若对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（ ）| A．恒大于0 | B．恒小于0 | | C．恒等于0 | D．和0的大小关系不确定 |
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答案
令g（x）=x2f（x），
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）
=x（2f（x）+xf′（x）），
因为2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，当x＞0时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．
当x＜0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
所以，当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．
所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，
当x≠0时，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0时，有2f（0）+0×f′（0）＞0，所以f（0）＞0．
综上有f（x）恒大于0．
故选A． |
举一反三
| 曲线f（x）=x2+lnx的切线的斜率的最小值为（ ） |
| 若函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5），且f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（1）=（ ） |
| 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，又知（xlnx）"=lnx+1且S10=lnxdx，S20=17．则S30为______． |
| y=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a=______． |
| 设函数y=f（x），x∈R的导函数为f′（x），且f（x）=f（-x），f′（x）＜f（x），则下列三个数：ef(2)，f(3)，f(-1)从小到大依次排列为______． （e为自然对数的底） |
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