若对可导函数f(x),恒有2f(x)+xf′(x)>0,则f(x)(  )A.恒大于0B.恒小于0C.恒等于0D.和0的大小关系不确定

若对可导函数f(x),恒有2f(x)+xf′(x)>0,则f(x)(  )A.恒大于0B.恒小于0C.恒等于0D.和0的大小关系不确定

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若对可导函数f(x),恒有2f(x)+xf′(x)>0,则f(x)(  )
A.恒大于0B.恒小于0
C.恒等于0D.和0的大小关系不确定
答案
令g(x)=x2f(x),
则g(x)=2xf(x)+x2f(x)
=x(2f(x)+xf(x)),
因为2f(x)+xf′(x)>0,
所以,当x>0时,g(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数.
当x<0时,g(x)<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.
所以,当x=0时函数g(x)有极小值,也就是最小值为g(0)=0.
所以g(x)=x2f(x)恒大于等于0,
当x≠0时,由x2f(x)恒大于0,可得f(x)恒大于0.
又对可导函数f(x),恒有2f(x)+xf′(x)>0,
取x=0时,有2f(0)+0×f(0)>0,所以f(0)>0.
综上有f(x)恒大于0.
故选A.
举一反三
曲线f(x)=x2+lnx的切线的斜率的最小值为(  )
A.2


2
B.2C.


2
D.不存在
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若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),且f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(1)=(  )
A.24B.-24C.10D.-10
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,又知(xlnx)"=lnx+1且S10=
e1
lnxdx,S20=17.则S30为______.
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y=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1,则a=______.
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设函数y=f(x),x∈R的导函数为f′(x),且f(x)=f(-x),f′(x)<f(x),则下列三个数:ef(2),f(3),
e
f(-1)
从小到大依次排列为______. (e为自然对数的底)
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