已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
3
-3ax
2
+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
答案
(1)f(x)的递增区间是(-∞,2-
)与(2+
,+∞);
f(x)的递减区间是(2-
,2+
)
(2)
解析
(1)当a=2时,f(x)=x
3
-6x
2
+3x+1.
f′(x)=3x
2
-12x+3
=3(x
2
-4x+1)
=3(x-2+
)(x-2-
).
当x<2-
,或x>2+
时,得f′(x)>0;
当2-
<x<2+
时,得f′(x)<0.
因此f(x)的递增区间是(-∞,2-
)与(2+
,+∞);
f(x)的递减区间是(2-
,2+
).
(2)f′(x)=3x
2
-6ax+3,
Δ=36a
2
-36,由Δ>0得,a>1或a<-1,又x
1
x
2
=1,
可知f′(2)<0,且f′(3)>0,
解得
<a<
,
因此a的取值范围是
.
举一反三
设函数f(x)=ln x-p(x-1),p∈R.
(1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=xf(x)+p(2x
2
-x-1)(x≥1),求证:当p≤-
时,有g(x)≤0.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ln x-
.
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)f(x)在[1,e]上的最小值为
,求实数a的值;
(3)试求实数a的取值范围,使得在区间(1,+∞)上函数y=x
2
的图象恒在函数y=f(x)图象的上方.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ln x-ax+1在x=2处的切线斜率为-
.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=
,对∀x
1
∈(0,+∞),∃x
2
∈(-∞,0)使得f(x
1
)≤g(x
2
)成立,求正实数k的取值范围;
(3)证明:
+
+…+
<
(n∈N
*
,n≥2).
题型:不详
难度:
|
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下面四个图象中,有一个是函数f(x)=
x
3
+ax
2
+(a
2
-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则f(-1)等于( )
A.
B.-
C.
D.-
或
题型:不详
难度:
|
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设函数
求证:当
时,函数
在区间
上是单调递减函数;
求
的取值范围,使函数
在区间
上是单调函数.
题型:不详
难度:
|
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