已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝x³－3ax²＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.

答案

（1）f(x)的递增区间是(－∞，2－)与(2＋，＋∞)；
f(x)的递减区间是(2－，2＋)
（2）

解析

(1)当a＝2时，f(x)＝x³－6x²＋3x＋1.
f′(x)＝3x²－12x＋3
＝3(x²－4x＋1)
＝3(x－2＋)(x－2－)．
当x＜2－，或x＞2＋时，得f′(x)＞0；
当2－＜x＜2＋时，得f′(x)＜0.
因此f(x)的递增区间是(－∞，2－)与(2＋，＋∞)；
f(x)的递减区间是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3x²－6ax＋3，
Δ＝36a²－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x₁x₂＝1，
可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，
解得＜a＜，
因此a的取值范围是.