设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)(  )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D

设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)(  )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)(  )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值

答案
D
解析
由x2f′(x)+2xf(x)=
得f′(x)=
令g(x)=ex-2x2f(x),x>0,
则g′(x)=ex-2x2f′(x)-4xf(x)=ex-2·.
令g′(x)=0,得x=2.
当x>2时,g′(x)>0;当0<x<2时,g′(x)<0,
∴g(x)在x=2时有最小值g(2)=e2-8f(2)=0,
从而当x>0时,f′(x)≥0,
则f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以函数f(x)无极大值,也无极小值.
举一反三
设f(x)=-x3x2+2ax,若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,则a的取值范围为________.
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已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
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设函数f(x)=ln x-p(x-1),p∈R.
(1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)(x≥1),求证:当p≤-时,有g(x)≤0.
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已知函数f(x)=ln x-
(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)f(x)在[1,e]上的最小值为,求实数a的值;
(3)试求实数a的取值范围,使得在区间(1,+∞)上函数y=x2的图象恒在函数y=f(x)图象的上方.
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已知函数f(x)=ln x-ax+1在x=2处的切线斜率为-.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=,对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立,求正实数k的取值范围;
(3)证明: ++…+<(n∈N*,n≥2).
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