设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(　　)A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D

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设函数f(x)满足x²f′(x)＋2xf(x)＝

，f(2)＝

，则x＞0时，f(x)(　　)

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值

D．既无极大值也无极小值

答案

解析

由x²f′(x)＋2xf(x)＝

，
得f′(x)＝

，
令g(x)＝e^x－2x²f(x)，x＞0，
则g′(x)＝e^x－2x²f′(x)－4xf(x)＝e^x－2·

＝

.
令g′(x)＝0，得x＝2.
当x＞2时，g′(x)＞0；当0＜x＜2时，g′(x)＜0，
∴g(x)在x＝2时有最小值g(2)＝e²－8f(2)＝0，
从而当x＞0时，f′(x)≥0，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)无极大值，也无极小值．

举一反三

设f(x)＝－

x³＋

x²＋2ax，若f(x)在(

，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围为________．

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已知函数f(x)＝x³－3ax²＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.

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设函数f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.
(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x²－x－1)(x≥1)，求证：当p≤－

时，有g(x)≤0.

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已知函数f(x)＝ln x－

．
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)f(x)在[1，e]上的最小值为

，求实数a的值；
(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y＝x²的图象恒在函数y＝f(x)图象的上方．

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已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－

.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝

，对∀x₁∈(0，＋∞)，∃x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：

＋

＋…＋

(n∈N^*，n≥2)．

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