已知函数.(1)若,求函数的极小值;(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?

已知函数.(1)若,求函数的极小值;(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?

题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)若,求函数的极小值;
(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
答案
(1)极小值为2;(2)不存在,详见解析.
解析

试题分析:(1)由a=4,得函数f(x)的解析式,求出其导函数以及导数为0的根,通过比较两根的大小找到函数的单调区间,进而求出f(x)的极小值;(2)若定义域内存在三个不同的自变量的取值xi(i=1,2,3),使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等,设f(xi)-g(xi)=m.(i=1,2,3),则对于某一实数m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三个不等的实数,由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值xi(i=1,2,3)使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等.
解:(1)定义域为,由已知得,   2分
则当上是减函数,
上是增函数, 
故函数的极小值为.                6分
(2)若存在,设
则对于某一实数方程上有三个不等的实根,

则函数的图象与x轴有三个不同交点,
有两个不同的零点.9分
显然上至多只有一个零点
则函数的图象与x轴至多有两个不同交点,则这样的不存在。       13分
举一反三
设函数
(1)试问函数能否在处取得极值,请说明理由;
(2)若,当时,函数的图像有两个公共点,求的取值范围.
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已知函数()
(1)当a=2时,求在区间[e,e2]上的最大值和最小值;
(2)如果函数在公共定义域D上,满足<<,那么就称的“伴随函数”.已知函数,若在区间(1,+∞)上,函数的“伴随函数”,求a的取值范围。
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已知都是定义在上的函数,,且,对于数列,任取正整数,则前k项和大于的概率是(   )
A.  B.  C.   D.

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已知函数
(1)试判断函数的单调性,并说明理由;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
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(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
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