试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,判断函数的单调性,函数递增,则在区间2个端点处取得最大值和最小值;第二问,由新定义将题目转化为,在(1,+∞)上恒成立,对求导,对的根进行讨论,判断函数的单调性,求出最大值,令最大值小于0,同理,对求导,求最大值,需要注意如果最大值能够取到,则最大值小于0,若最大值取不到,则最大值小于等于0. (1)当a=2时,,则 当x∈[e,e2]时,,即此时函数单调递增, ∴的最大值为f(e2)=4e4+lne2=2+4e4,最小值为f(e)=2e2+lne=1+2e2. 4分 (2)若在区间(1,+∞)上,函数是、的“伴随函数”, 即<<,令在(1,+∞)上恒成立,在(1,+∞)上恒成立, 因为 ①若,由得 当,即时,在(x2,+∞)上,有,此时函数单调递增,并且在该区间上有,不合题意. 当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知在区间(1,+∞)上,有,不合题意. ②若a≤,则有2a 1≤0,此时在区间(1,+∞)上,有p"(x)<0,此时函数p(x)单调递减,要使p(x)<0恒成立,只需要满足,即可 此时, 9分 又,则h(x)在(1,+∞)上为减函数,则h(x)<h(1)=,所以 11分 即a的取值范围是。 12分 |