试题分析:(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式恒成立的转化,由(1)可确定在上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为 ,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在(3,4)上恒成立,要求的取值范围.采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值;(3)由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得 成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为(),其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围. 试题解析:(1),令,得x=1. 1分 列表如下:
x
| (-∞,1)
| 1
| (1,+∞)
|
| +
| 0
| -
| g(x)
| ↗
| 极大值
| ↘
| ∵g(1)=1,∴y=的极大值为1,无极小值. 3分 (2)当时,,. ∵在恒成立,∴在上为增函数. 4分 设,∵>0在恒成立, ∴在上为增函数. 5分 设,则等价于, 即. 设,则u(x)在为减函数. ∴在(3,4)上恒成立. 6分 ∴恒成立. 设,∵=,xÎ[3,4], ∴,∴<0,为减函数. ∴在[3,4]上的最大值为v(3)=3-. 8分 ∴a≥3-,∴的最小值为3-. 9分 (3)由(1)知在上的值域为. 10分 ∵,, 当时,在为减函数,不合题意. 11分 当时,,由题意知在不单调, 所以,即.① 12分 此时在上递减,在上递增, ∴,即,解得.② 由①②,得. 13分 ∵,∴成立. 14分 下证存在,使得≥1. 取,先证,即证.③ 设,则在时恒成立. ∴在时为增函数.∴,∴③成立. 再证≥1. ∵,∴时,命题成立. 综上所述,的取值范围为. 16分 |