试题分析:(1)求 的极值,就是先求出 ,解方程 ,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里 的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092716-99241.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092716-11451.png) 恒成立的转化,由(1)可确定 在 上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数 在 上也是增函数,不妨设 ,这样题设绝对值不等式可变为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092717-59444.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092718-65949.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092716-11451.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092718-74673.png) ,整理为 ,由此函数 在区间 上为减函数,则 在(3,4)上恒成立,要求 的取值范围.采取分离参数法得 恒成立,于是问题转化为求 在 上的最大值;(3)由于 的任意性,我们可先求出 在 上的值域 ,题设“在区间 上总存在 ,使得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092720-56170.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092720-71114.png) 成立”,转化为函数 在区间 上不是单调函数,极值点为 ( ),其次 ,极小值 ,最后还要证明在 上,存在 ,使 ,由此可求出 的范围. 试题解析:(1) ,令 ,得x=1. 1分 列表如下:
x
| (-∞,1)
| 1
| (1,+∞)
| ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018092723-84502.png)
| +
| 0
| -
| g(x)
| ↗
| 极大值
| ↘
| ∵g(1)=1,∴y= 的极大值为1,无极小值. 3分 (2)当 时, , . ∵ 在 恒成立,∴ 在 上为增函数. 4分 设 ,∵ >0在 恒成立, ∴ 在 上为增函数. 5分 设 ,则 等价于 , 即 . 设 ,则u(x)在 为减函数. ∴ 在(3,4)上恒成立. 6分 ∴ 恒成立. 设 ,∵ = ,xÎ[3,4], ∴ ,∴ <0, 为减函数. ∴ 在[3,4]上的最大值为v(3)=3- . 8分 ∴a≥3- ,∴ 的最小值为3- . 9分 (3)由(1)知 在 上的值域为 . 10分 ∵ , , 当 时, 在 为减函数,不合题意. 11分 当 时, ,由题意知 在 不单调, 所以 ,即 .① 12分 此时 在 上递减,在 上递增, ∴ ,即 ,解得 .② 由①②,得 . 13分 ∵ ,∴ 成立. 14分 下证存在 ,使得 ≥1. 取 ,先证 ,即证 .③ 设 ,则 在 时恒成立. ∴ 在 时为增函数.∴ ,∴③成立. 再证 ≥1. ∵ ,∴ 时,命题成立. 综上所述, 的取值范围为 . 16分 |