(1)f(x)=-x3+x2+2ax, ∴f"(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f"(x)的最大值为f"()=+2a. 函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立, ∴+2a>0a>-. (2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f"(x)=-x2+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=, ∴f"(1)=-1+1+2a=2a>0, f"(4)=-16+4+2a=2a-12<0, 则必有一点x0∈[1,4]使得f"(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减, f(1)=-++2a=+2a>0, ∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a, ∴-+8a=-,得a=1, 此时,由f"(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去), 所以函数f(x)max=f(2)=. |