试题分析:(1)先求出函数 的定义域与导数,求出极值点,解有关导数的不等式,从而确定函数 的单调增区间和减区间;(2)结合(1)中的结论可知,函数 在区间 上单调递增,根据定义得到 , ,问题转化为求方程 在区间 上的实数根,结合导数来讨论方程 在区间 上的实根的个数,从而确定函数 在区间 上是否存在“域同区间”. 试题解析:(1) ,定义域为 , 且 , 令 ,即 ,解得 或 ;令 ,即 ,解得 , 故函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ; (2)由(1)知,函数 在区间 上是单调递增函数, 假设函数 在区间 上存在“域同区间” ,则有 , , 则方程 在区间 上有两个相异实根, 构造新函数 ,定义域为 , 则 , 设 ,则 , 当 时, ,则 恒成立, 因此函数 在区间 上单调递增, , , 故函数 在区间 上存在唯一零点 ,则有 , 当 时, ;当 时, , 故函数 在区间 上是单调递减函数,在区间 上是单调递增函数, 因为 , , , 所以函数 在区间 有且只有一个零点, 这与方程 有两个大于 的实根相矛盾,所以假设不成立! 所以函数 在区间 上不存在“域同区间”. |