已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线的斜率.(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:.
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已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线的斜率.(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知
为函数
图象上一点,O为坐标原点,记直线
的斜率
.
(1)若函数
在区间
上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:
.
答案
(1)
;(2)
;(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)在函数定义域范围内求函数的极值,则极值点在
内;(2)首先根据条件分离出变量
,由
转化成求
的最小值(利用二次求导判单调性);(3)结合第(2)问构造出含
的不等关系,利用裂项相消法进行化简求和.
试题解析:(1)由题意
,
1分
所以
2分
当
时,
;当
时,
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
故
在
处取得极大值. 3分
因为函数
在区间
(其中
)上存在极值,
所以
,得
.即实数
的取值范围是
. 4分
(2)由
得
,令
,
则
. 6分
令
,则
,
因为
所以
,故
在
上单调递增. 7分
所以
,从而
在
上单调递增,
所以实数
的取值范围是
. 9分
(3)由(2) 知
恒成立,
即
11分
令
则
, 12分
所以
,
, ,
.
将以上
个式子相加得:
,
故
. 14分
举一反三
已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(I)当
时,求函数
的单调区间;
(II)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其中
为正实数,
.
(I)若
是
的一个极值点,求
的值;
(II)求
的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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设函数
.
(Ⅰ)求
的单调区间;
(Ⅱ)若
,且
在区间
内存在极值,求整数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
为自然对数的底数).
(Ⅰ)当
时,求
的单调区间;
(Ⅱ)若函数
在
上无零点,求
最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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定义在
上的函数
,则
( )
A.既有最大值也有最小值
B.既没有最大值,也没有最小值
C.有最大值,但没有最小值
D.没有最大值,但有最小值
题型:不详
难度:
|
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