试题分析:(Ⅰ)将代入,对求导,令和分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)通过分析已知先得到“对,恒成立”,下面求在上的最大值,所以,解出的最小值;(Ⅲ)先对求导,判断出上的单调性,并求出的值域,再对求导,确定单调性,画出简图,因为,得到,通过验证(2)是恒成立的,所以只需满足(3)即可,所以解出的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)当时, (),则. 1分 由得;由得. 3分 故的单调递减区间为,单调递增区间为. 4分 (Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的, 5分 故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立. 即对,恒成立. 6分 令,,则, 再令,,则. 故在为减函数,于是, 从而,于是在上为增函数, 所以, 8分 故要使恒成立,只要. 综上可知,若函数在上无零点,则的最小值为. 9分 (Ⅲ),所以在上递增,在上递减. 又,, 所以函数在上的值域为. 10分 当时,不合题意; 当时,, . 当时,,由题意知,在上不单调, 故,即 11分 此时,当变化时,,的变化情况如下: 又因为当时,, ,, 所以,对任意给定的,在上总存在两个不同的, 使得成立,当且仅当满足下列条件: , 12分 令,,则, 故当时,函数单调递增, 当时,函数单调递减, 所以,对任意的,有, 即(2)对任意恒成立,则(3)式解得 (4) . 13分 综合(1)与(4)可知,当时,对任意给定的, 在上总存在两个不同的,使得成立. 14分 |