(本小题满分12分)已知函数的零点的集合为{0,1},且是f(x)的一个极值点。(1)求的值;(2)试讨论过点P(m,0)与曲线y=f(x)相切的直线的条数。
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(本小题满分12分)已知函数的零点的集合为{0,1},且是f(x)的一个极值点。(1)求的值;(2)试讨论过点P(m,0)与曲线y=f(x)相切的直线的条数。
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知函数
的零点的集合为{0,1},且
是f(x)的一个极值点。
(1)求
的值;
(2)试讨论过点P(m,0)与曲线y=f(x)相切的直线的条数。
答案
(1)
;(2)当
或
时,
,方程①有两等根
或
,此时,过点
或
与曲线
相切的直线有两条;
当
时,
,方程①无解,此时过点
与曲线
相切的直线仅有一条;
当
或
时,
,方程①有两个不同的实根,此时过点
与曲线
相切的直线有三条.
解析
试题分析:(Ⅰ)函数
的零点的集合为
,则方程
的解可以为
,或
.
∴
或
.
①若
,则
.
当
,或
时,
,函数
为增函数;当
,
,函数
为减函数;
∴
,
为函数的极值点.与题意不符.
②若
,则
当
,或
时,
,函数
为增函数;当
,
,函数
为减函数;
∴
,
为函数的极值点.
综上,函数
,即
,
而
,故
,∴
…6分
(Ⅱ)设过点
的直线与曲线
切于点
,
由(Ⅰ)知
,∴曲线
在点
处的切线方程为
,
∵
满足此方程,故
,又
即
,∴
.
,或
…①,关于
的方程
的判别式
当
或
时,
,方程①有两等根
或
,此时,过点
或
与曲线
相切的直线有两条;
当
时,
,方程①无解,此时过点
与曲线
相切的直线仅有一条;
当
或
时,
,方程①有两个不同的实根,此时过点
与曲线
相切的直线有三条. …12分
点评:利用导数求曲线的切线方程,我们一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”。对于“在某点处的切线”的问题,这一点就是切点,直接根据导数的几何意义写出切线方程即可。对于“过某点的切线”问题,我们一般要把切点坐标设出来解决。
举一反三
本小题满分12分)设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合:①方程f (x)一x=0有实根;②函数的导数
满足0<
<1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:方程f(x)一x=0只有一个实根;
(2)判断函数
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意
,
证明:
题型:不详
难度:
|
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.(本小题满分12分)
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点,且a>b>0,
为f(x)的导函数,求证:
(III)求证
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)
已知函数
,
是
的导函数(
为自然对数的底数)
(Ⅰ)解关于
的不等式:
;
(Ⅱ)若
有两个极值点
,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
设
,点P(
,0)是函数
的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(1)用
表示
a
,b,c;
(2)若函数
在(-1,3)上单调递减,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)已知函数
.(
)
(1)若函数
有三个零点
,且
,
,求函数
的单调区间;
(2)若
,
,试问:导函数
在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数
的两个零点之间的距离不小于
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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