(本题满分12分)设是定义在上的奇函数,函数与的图象关于轴对称,且当时,.(I)求函数的解析式;(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.

(本题满分12分)设是定义在上的奇函数,函数与的图象关于轴对称,且当时,.(I)求函数的解析式;(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
是定义在上的奇函数,函数的图象关于轴对称,且当时,
(I)求函数的解析式;
(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.
答案
(1)
(2),实数的取值范围为
解析
本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求解及常用方法和奇偶函数图象的对称性,是对函数知识的综合考查,属于中档题.
(1)先利用函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称得:f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于y轴对称的对称点Q(-x,y)在g(x)的图象上;然后再利用x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],则f(x)=g(-x)求出一段解析式,再利用定义域内有0,可得f(0)=0;最后利用其为奇函数可求x∈(0,1]时对应的解析式,综合即可求函数f(x)的解析式;
(2)先求出f(x)在(0,1]上的导函数,利用其导函数求出其在(0,1]上的单调性,进而求出其最大值,只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围
解:(1)∵的图象与的图象关于y轴对称,
的图象上任意一点关于轴对称的对称点的图象上.
时,,则.    2分
上的奇函数,则.                  3分
时,.    5分
                          6分
(2)由已知,
①若恒成立,则
此时,上单调递减,
的值域为矛盾.                             8分
②当时,令
∴当时,单调递减,
时,单调递增,
.              10分
,得
综上所述,实数的取值范围为.                               12分
举一反三
函数的导函数的图象大致是(     )
A.B.
C.D.

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函数的单调递增区间为____________.
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(本小题满分14分)已知函数=.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
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(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ) 求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数g(x)=x3 +x2在区间上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个
使得成立,试求实数的取值范围.
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设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且f(-3)·g(-3)=0,则不等式f(x)·g(x)<0的解集是(  )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪ (0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)

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