(本小题满分12分)已知函数,且对于任意实数,恒有.(1)求函数的解析式;(2)函数有几个零点?

(本小题满分12分)已知函数,且对于任意实数,恒有.(1)求函数的解析式;(2)函数有几个零点?

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
已知函数,且对于任意实数,恒有
(1)求函数的解析式;
(2)函数有几个零点?
答案
(1).
(2)时,无零点;
时,有两个零点;
时有三个零点;
时,有四个零点.
解析
本试题主要是考查了函数解析式的求解以及函数与方程的综合运用。
(1)根据已知中由题设得,则
所以 所以对于任意实数恒成立,得到b的值。
(2)令,则,然后分析函数单调性,缺的给你极值的大小进而确定零点的个数。
解:(1)由题设得,                         ……1分
,则,                         ……2分
所以 所以对于任意实数恒成立.
.                                                     ……3分
.             ……………………………………………4分
(2)令,则.   ……6分
,则,当变化时,的变化列表如下.




0

1


+
0

0
+
0


递增
极大值
递减
极小值1
递增
极大值
递减
……9分
时,无零点;
时,有两个零点;
时有三个零点;
时,有四个零点. ……………………………………………………12分
举一反三
(本题满分12分)
是定义在上的奇函数,函数的图象关于轴对称,且当时,
(I)求函数的解析式;
(II)若对于区间上任意的,都有成立,求实数的取值范围.
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函数的导函数的图象大致是(     )
A.B.
C.D.

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函数的单调递增区间为____________.
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(本小题满分14分)已知函数=.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
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(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ) 求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数g(x)=x3 +x2在区间上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个
使得成立,试求实数的取值范围.
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