本题考查导数的工具作用,考查学生利用导数研究函数的单调性的知识.考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想,将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题,属于综合题型. (1)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f"(x)>0的x的取值区间; (2)方法一:利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围. 方法二:先分离变量再构造函数,利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性,根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解 解:(1)函数的定义域为,………………………………………………1分 ∵, ………………………………………2分 ∵,则使的的取值范围为, 故函数的单调递增区间为. ……………………………………………4分 (2)方法1:∵, ∴. …………………………6分 令, ∵,且, 由. ∴在区间内单调递减,在区间内单调递增, ……………………8分 故在区间内恰有两个相异实根 ……10分 即解得:. 综上所述,的取值范围是. ………………………………12分 方法2:∵, ∴. …………………………6分 即, 令, ∵,且, 由. ∴在区间内单调递增,在区间内单调递减.……………………8分 ∵,,, 又, 故在区间内恰有两个相异实根. ……………………………………10分 即. 综上所述,的取值范围是. ……………………………12分 |