已知函数y=f(x)是定义在区间[-,]上的偶函数,且x∈[0,]时,(1)求函数f(x)的解析式;(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图像上,

已知函数y=f(x)是定义在区间[-,]上的偶函数,且x∈[0,]时,(1)求函数f(x)的解析式;(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图像上,

题型:不详难度:来源:
已知函数y=f(x)是定义在区间[-]上的偶函数,且
x∈[0,]时,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图像上,顶点C,D在x轴上,求矩形ABCD面积的最大值.
答案
(1) (2)6
解析
本题主要考查了分段函数、函数的最值及其几何意义及利用导数研究函数的极值,属于中档题.
(1)欲求函数f(x)的解析式,只须求出函数f(x)在x∈[- ,0]时的解析式即可,利用函数的偶函数性质即可由y轴右侧的表达式求出在y轴左侧的表达式.最后利用分段函数写出解析式即可.
(2)设A点在第一象限,坐标为A(t,-t2-t+5),利用对称性求出B点坐标,进而求出矩形ABCD面积,最后利用导数求出此面积表达式的最大值即可.
解(1)当x∈时,-x∈
.又∵f(x)是偶函数,

.
(2)由题意,不妨设A点在第一象限,
坐标为(t,-t2-t+5),其中t∈
由图象对称性可知B点坐标为
则S(t)=  =
s′(t)=.由s′(t)=0,得(舍去),
当0<t<1时,s′(t)>0;t>1时,s′(t)<0.
∴S(t)在(0,1]上单调递增,在上单调递减.
∴当t=1时,矩形ABCD的面积取得极大值6,
且此极大值也是S(t)在t∈上的最大值.
从而当t=1时,矩形ABCD的面积取得最大值6.
举一反三
设函数可导,的图象如图1所示,则导函数的图像可能为(  )
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对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x+1)f′(x)≥0,则有(  )
A.f(0)+f(-2)<2f(-1)B.f(0)+f(-2)≤2f(-1)
C.f(0)+f(-2)>2f(-1) D.f(0)+f(-2)≥2f(-1)

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已知函数 (为实常数)。
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间上无极值,求的取值范围;
(Ⅲ)已知,求证: .
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已知函数),
(Ⅰ)若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:
(Ⅲ)若,试探究函数的图象在其公共点处是否存在公切线,若存在,研究值的个数;若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>1时,x2+lnx<x3.
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