本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1)根据已知函数求解导数,结合导数的 符号与单调性的关系得到单调区间。 (2)构造函数由题意可知g(x)=f(2-x), 得g(x)=(2-x)ex-2. 令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2. 于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x. 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0. 又e-x>0, 结合单调性得到结论。 解:(1)f′(x)=(1-x)e-x.令f′(x)=0, 解得x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018110608-99979.jpg) 所以f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. 故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)= . (2)证明:由题意可知g(x)=f(2-x), 得g(x)=(2-x)ex-2. 令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2. 于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x. 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0. 又e-x>0, 所以F′(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)上是增函数. 又F(1)=e-1-e-1=0, 所以x>1时,有F(x)>F(1)=0, 因此,当x>1时,f(x)>g(x). |