已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设.如果对任意，，求的取值范围.

题型：不详难度：来源：

已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设.如果对任意，，求的取值范围.

答案

（Ⅰ）在单调增加，在单调减少
（Ⅱ）（-∞，-].

解析

（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+2x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
，          ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即

从而，令，，则
故a的取值范围为（-∞，-].