此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大. (1)首先求出函数的导数,然后f′(-1)=0,f′()=0,解出a、b的值,进而求出解析式 (2)f′(x)<0,求出函数的单调区间; (3)由(1)求出端点处函数值,从而求出函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值. 解:(1) f ¢(x)=12x2+2ax+b.由题设知x = 与x =-1时函数有极值. 则x = 与x =-1满足f ¢(x)=0. 解得a =-3,b =-18. ∴f(x)= 4x3-3x2-18x+5. ……4分 (2)f ¢(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3), 令f ¢(x)>0得:(-∞,-1)和(,+∞)均为函数的单调递增区间; (-1,)为函数的单调递减区间. ……8分 (3)极值点(-1, ) 均属于[-1,2], 又∵f(-1)=16, f(2)=-11, f()=- , ……10分 故f(x)在[-1,2]上的最小值是-,最大值为16. ……12分 注:其它解法可酌情给分. |