本试题主要考查了导数在研究函数中 的运用。 (1)先求解函数的定义域为,函数导数 所以曲线在点处的切线方程为: 因为切线与曲线有唯一的公共点, 所以方程有且只有一个实数解,显然是方程的一个解. 构造函数令,则 对参数m讨论得到结论。 (2))因为. 因为且对称轴为, , 所以方程在内有两个不同实根, 结合韦达定理得到结论。 解:(Ⅰ)函数的定义域为, 所以曲线在点处的切线方程为: 因为切线与曲线有唯一的公共点, 所以方程有且只有一个实数解,显然是方程的一个解. 令,则 ①当时,, 所以在上单调递增,即是方程唯一实数解. ②当时,由得,, 在区间上,;在区间上,; 所以函数在处有极大值,且; 而当,因此在内也有一个解. 即当时,不合题目的条件. 综上讨论得.……………………………………………………………………………8分 (Ⅱ). 因为且对称轴为, , 所以方程在内有两个不同实根, 即的解集为, 所以函数的单调递减区间为.
由于,所以, 所以函数的递减区间长度的取值范围是.……………………15分 |